El número nueve

Aparte de sus propiedades evidentes, como que es el número entre el 8 y el 10 (he tenido que consultarlo en la wikipedia para no equivocarme),  en este post vamos a intentar sonreír y sorprendernos con este número y su comportamiento.

Prueba del nueve
Cuando en mi niñez el maestro nos ponía ejercicios de multiplicación (dos números de varias cifras), tenía tres formas para saber si el resultado era correcto:

• utilizar ejercicios cuyo resultado conocía
• repetir él mismo la operación
• utilizar la prueba del nueve

Como el maestro era listo, utilizaba el último método. Una explicación clara de esta prueba del nueve podemos verla en el siguiente post del blog Tito Eliatron Dixit

La generalización del uso de la calculadora ha hecho que incluso la existencia de esta prueba haya caído en el olvido.

Lo fácil
Vamos a repasar algunas "curiosidades estéticas" del número nueve. Empecemos por la sencilla operación 1/9. Utilizando cualquier calculadora o recordando el método manual vemos que:

Lo que en terminología matemática se llama un número decimal periódico puro, es decir, un entero seguido por un número ilimitado de grupos de una o más cifras que se repiten indefinidamente. Para representar estos números se utiliza la notación

Más difícil
 Por ahora, nada fuera de lo común. Pero si lo complicamos un poco, y usando una calculadora con mayor número de cifras o una hoja de cálculo, obtenemos que

En esta ocasión, los puntos suspensivos no indican, como en el primer caso, repetición de las cifras anteriores, sino que las cifras decimales continúan apareciendo sin límite. Realmente la representación matemática sería:

La teoría de los números nos enseña que un número racional tiene un número finito de cifras decimales sin repetición. Así 1/9 = 0,1111... tiene una cifra decimal sin repetición, que es la longitud de su parte periódica; 1/4 = 0,25 tiene dos cifras decimales sin repetición, que son las cifras antes de llegar a los infinitos ceros que las siguen.

El resultado es curioso: las cifras en orden del 0 al 9, ¡excepto el 8!, repetidas infinitamente.
 
La explicación se ve al multiplicar 1/9 por sí mismo de la forma tradicional. Las primeras cifras se forman al sumar 1, 2, 3, 4... veces el número 1. Así obtendríamos 0,0123456789, pero el resultado de la suma en la siguiente posición sería 10, lo que añade uno a la cifra anterior, resultando 0,0123456790, pues 89 + 01 = 90.
Las siguientes cifras se justifican de forma similar, sumando 11, 12, 13,... veces el número 1.

El enlace del apartado anterior nos enseña a calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico puro, como

(El número sin comas - Parte entera) / (Tantos 9 como cifras tenga el periodo)

En nuestro caso,

 Lo que nos sugiere que

Que no deja de ser otro resultado curioso.

Más difícil todavía
Si hasta ahora hemos jugado con 1/9 y con 1/(9*9) con cierto éxito, no sería extraño intentarlo con otras expresiones del mismo estilo pero más elaboradas, como 1/(99*99), 1/(999*999), o similares. ¿Qué encontraremos?

A partir de aquí tengo que pedir al lector que me libere del deber de demostrar o incluso mostrar detalladamente los resultados obtenidos. La necesidad de tratar con números con decenas, cientos o miles de cifras decimales me ha llevado a escribir y utilizar un pequeño programa escrito en Python.

Por ejemplo, el resultado de 1/(99*99) es

Es un número decimal periódico puro cuyo periodo es la sucesión del 00 al 99 (¡excepto el 98!). La forma de representar este número con un periodo de 198 cifras excede de las posibilidades de la notación clásica. Dejamos al lector la tarea de encontrar la fracción generatriz por el método clásico.

Para no dejar de tratar el último ejemplo propuesto, vemos el valor de 1/998001 = 1/(999*999):

Perdón, quiero decir que no vemos, pero creedme: Es un número decimal periódico puro cuyo periodo tiene 2.997 cifras formadas por la sucesión del 000 al 999 (¡excepto el 998!)

Es fácil de imaginar e imposible de ver, que el valor decimal de 1/99980001 = 1/(9999*9999) tiene un periodo de 4*(10.000-1) = 39.996 cifras formadas por la sucesión del 0000 al 9999 (¡excepto el 9998!).

¡Ya no puedo más!

Un último número generado a partir del 9 y del 7
Finalmente mencionaré mi número preferido por su comportamiento, que se obtiene a partir de estas dos cifras (más el seis escondido):

También puede observarse que

 Pero este número merece un post sólo para él.