Mi número favorito: el 142.857

Cuando introducía mi afición a los números en mi post Los números, ¿qué números?, ya anunciaba que mi favorito es el 142.857. No se trata de un número obtenido por el azar ni por la casualidad, sino que tiene su origen en otros números con propiedades interesantes sobre los que ya he hablado (o pienso hacerlo): el seis, el siete y el nueve.

Origen

Tomemos un número formado por seis nueves y dividámoslo por siete.

¡Quién nos iba a decir que 999.999 era divisible por 7!

Más sencillo todavía: hagamos la división 1 / 7.

El resultado es un número decimal periódico puro, en el que se se repiten las cifras 142857. Por el contrario no aparecen las cifras múltiplos de tres: 3, 6 y 9.

Esta forma decimal puede obtenerse sumando indefinidamente la serie cuyo primer elemento es  0,14, y cada nuevo elemento se obtiene a partir del anterior multiplicando por 2 y dividiendo por 100, para formar la suma que se ve a la izquierda.







 Lo que en notación matemática expresaríamos como

Lógicamente si dividimos la fracción y la suma por 14 tenmos que:

 Para empezar...

Su propiedad más sencilla nos lleva de nuevo al número nueve: si sumamos el número formado por sus tres primeras cifras (142) a las tres últimas (857) obtenemos 999, que nos recuerda su origen.

El 142.857 es un número cíclico

Este número comparte con algunos otros un comportamiento curioso cuando los multiplicamos por 1, 2, 3,... A estos números se les denomina cíclicos.

En nuestro caso, multiplicando por 1, ..., 7 tenemos:

Ignorando la última multiplicación, podemos ver que las cifras son las mismas que en el número original, pero su posición ha variado de una multiplicación a otra, pero siempre manteniendo circularmente la misma secuencia entre ellas.
Cada cifra ocupa todas y cada una de las seis posiciones. Por ejemplo, la cifra 4 ocupa sucesivamente las posiciones 2, 6, 1, 4, 3 y 5.
Recordando el origen del número 142857 no nos extraña el resultado de la última fila.

Si continuamos multiplicando por los números naturales siguientes 8,... y lo comparamos con el resultado anterior, vemos:

Cada resultado en la segunda columna es el mismo de la primera columna en el que la última cifra (la de las unidades) se ha descompuesto en 1, que pasa a la primera posición (la de las unidades de millón) y el resto, que permanece en su lugar. Por ejemplo, 142857 pasa a 1142856, pues 7 = 1 + 6.

Parecido ocurre en la tercera columna. Restando 2 a la última posición tenemos que 7 = 2 + 5 y que 142857 pasa a 2142855.

Dejo al lector que, con la ayuda de una sencilla hoja de cálculo, compruebe el comportamiento de este número cuando se multiplica por números enteros cada vez mayores.

Otros números cíclicos

Si definimos número cíclico como aquél entero que al multiplicarlo sucesivamente por 1, 2, 3... produce variaciones circulares del número original, como hemos visto en el 142.857, observamos dos propiedades curiosas:

• Copiando de Wikipedia: los primeros números cíclicos son:

142857 (6 cifras)

0588235294117647 (16 cifras)

052631578947368421 (18 cifras)

0434782608695652173913 (22 cifras)

0344827586206896551724137931 (28 cifras)

0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 cifras)

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 cifras)

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 cifras)

• Todos los números cíclicos, excepto el 142.857, empiezan por cero, por lo que si no permitimos que un número entero empiece por cero, entonces el 142.857 es el único número cíclico.

El tamaño de estos números nos impide jugar fácilmente con ellos. Nos contentamos con comprobar que partiendo cualquier número cíclico en dos mitades y sumándolas, se obtiene un número compuesto exclusivamente por la cifra nueve. Por ejemplo, con el número de 60 cifras:

Para terminar con una cuarta propiedad de los números cíclicos: de la propiedad anterior deducimos que todos son divisibles por 9. Como nos enseñaron en la escuela, un número es divisible por nueve si la suma de sus dígitos es divisible por nueve.

No son números cíclicos...

Por el contrario, no se consideran números cíclicos los que producen variaciones circulares del mismo número, pero multiplicándolo por enteros NO sucesivos, como en el caso del 076.923. Este número tiene esa propiedad cuando se multiplica por 1, 3, 4, 9, 10 y 12.