El matemático y geómetra greco-egipcio Euclides (c. 325 – c 265 a.C.) demostró que las áreas de los círculos con proporcionales al cuadrado de sus diámetros, es decir que el cociente entre el área y el cuadrado del radio es una constante, que ahora denominamos pi. Sin embargo Euclides no intentó calcular el valor de pi.
1. El origen del nombre
Desde luego que no fueron los matemáticos griegos los que le pusieron este nombre. Hay que esperar hasta el año 1706 para que el matemático galés William Jones (1675 – 1749), amigo de Isaac Newton y de Edmund Halley, utilizara la letra pi para el fin que nos ocupa.Aunque fue el extraordinario y prolífico matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) el que extendió el uso de esta letra entre los matemáticos a partir de 1736. Por cierto, que Euler es el único matemático de cuyo nombre derivan dos constantes: el número de Euler (número e, aproximadamente igual a 2,71828 , gran compañero de nuestro protagonista el número pi) y la constante de Euler-Mascheroni (gamma γ, aproximadamente igual a 0,57721).
2. Aproximaciones a su valor
Un valor bastante aproximado del número pi es 3,141592653589793...
Pero antes de llegar a los millones de cifras decimales que se conocen actualmente, a lo largo de la historia se han utilizado valores cada vez más precisos, entre los que se encuentran los siguientes:
Expresión
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Valor
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Error
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Origen
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3,0
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1:22
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(1)
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3 + 1 / 5 = 16 / 5
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3,2
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1:54
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Valor utilizado en balística
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√10
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3,162...
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1:152
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Hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 3
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(4 / 3) 4 = 256 / 81
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3,1605...
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1:166
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Utilizado por los egipcios, basado en el triángulo
rectángulo de lados 3, 4 y 5
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3 + 1 / 8 = 25 / 8
|
3,125
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1:189
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Según las tablas de Susa (actual Irán)
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√3 + √2
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3,1463...
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1:672
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Construcción geométrica
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2 √(2 √5 – 2)
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3,1446...
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Relacionado con el número áureo
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3,14
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3,14
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1:2.000
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Valor práctico habitual (2)
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3 + 1 / 7 = 22 / 7
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3,1429...
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1:2.500
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Arquímedes (287- 212 a.C.) (3)
Zu Chongzhi (matemático y astrónomo chino, 429-500)
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20 √2 / 9
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3,1427...
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1:2.800
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3 + 1 / 8 + 1 / 60
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3,141667...
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1:42.000
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Claudio Ptolomeo (sabio greco-egipcio, c. 100 – c. 170)
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√((40 - 6 √3) / 3)
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3,141533...
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1:53.000
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Construcción geométrica
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3,1416
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3,1416
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1:430.000
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Al-Juarismi (matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán, a. 780 – a. 850) (4)
Valor práctico habitual
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13 / 50 √146
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3,14159195...
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1:4.500.000
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Construcción geométrica
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5 / 4 + √229 / 8
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3,14159324...
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1:5.300.000
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229 =152 + 22
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355/113
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3,14159292...
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1:12.000.000
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Adrien Métius (geómetra y astrónomo flamenco, 1571- 1635)
Zu Chongzhi (matemático y astrónomo chino, 429-500)
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3.14159265359...
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Once cifras decimales exactas
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Madhava de Sangamagrama (matemático y astrónomo indio, c. 1340 – c. 1425) (5)
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Adaptado de Los números y sus misterios, André Warusfel, Ediciones Martínez Roca, Barcelona, 1968; de La historia del número más famoso de las matemáticas, A. M. Jara Grados, 2010; y de otras fuentes.
La página web A chronology of pi incluye una lista más detallada con enlaces a otros recursos en Internet.
Notas:
(2): La exactitud de este valor aproximado aprovecha que la siguiente cifra decimal es un uno.
(3): Una de las figuras clave en el cálculo del valor de pi es el matemático, físico, inventor, ingeniero y astrónomo griego Arquímedes (Siracusa 287 a.C. - 212 a.C.). Demostró que el valor de pi está comprendido entre 3+10/70 (o sea 22/7 = 3,14286 aproximadamente) y 3+10/71 (igual a
3,14085 aproximadamente).
(4): Una parte de la labor de al-Juarismi (también transliterado de otras formas) fue recopilar y adaptar los conocimientos matemáticos de otros, incluidos los indios, de los que tomó el sistema de numeración indo-arábigo actual. Frecuentemente se reproduce la siguiente cita de al-Juarismi en su obra Algebra: "el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416". No sé cómo aparece la letra pi, que sólo fue utilizada para denominar este número a partir del siglo XVIII. Tampoco podemos saber si el valor 3,1416 fue calculado por al-Juarismi, o tiene otro origen.
(5): A este matemático indio
se le atribuyen también otros valores con hasta 17 cifras decimales exactas.
Madhava fundó la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala y puso las bases
del análisis matemático moderno, como las series infinitas, valores
trigonométricos, fracciones continuas, diferenciación, integración y métodos
iterativos para la solución de ecuaciones no lineales.
El interés de calcular el valor de pi con muchísimas cifras exactas es más teórico o de imagen que de utilidad práctica. La mayoría de los cálculos numéricos pueden hacerse con pocas cifras decimales. Por ejemplo, el valor 3,1416 tiene una precisión de 1:430.000, es decir aproximadamente 2,5 partes por millón, mucho mejor que la de las mediciones habituales.
Según Jörg Arndt y Christoph Haenel (autores del libro 'Pi - Unleashed' (en inglés) / 'Pi, Algorithmen, Computer, Arithmetik' (en alemán) ), 39 dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos, ya que es la exactitud necesaria para calcular el volumen de todo el universo conocido con la precisión de un átomo.
3. Una (aparente) paradoja
Tomamos una pelota de ping-pong y el planeta Tierra, por poner dos ejemplos muy diferentes, y a cada uno lo rodeamos por su ecuador con una cuerda. Si quisiéramos rodear cada objeto, pero a un metro de altura sobre su superficie, ¿cuanta cuerda adicional necesitaríamos en cada caso?
La respuesta es sencilla y sorprendente: en ambos casos necesitamos 6,28 metros adicionales, aproximadamente.
Si r y R son los radios de la pelota y de la Tierra, la cuerda necesaria en el primer caso es
Cuando la cuerda se pone (una vez resuelto el problema mecánico) a un metro sobre cada superficie, al cuerda necesaria es
4. El omnipresente número de longitud infinita
El número pi es sólo eso, un número, pero tiene algunas características interesantes:
- Tiene un número infinito de cifras decimales sin que se repitan periódicamente. Se han desarrollado procedimientos para conocer la cifra en la posición n-ésina, o para encontrar un grupo de cifras dado (por ejemplo los ocho dígitos de una fecha del calendario).
- Es un número irracional, es decir, no puede expresarse como cociente de dos números enteros. Las expresiones de este tipo que hemos visto más arriba (por ejemplo 355/113) son aproximaciones a su valor real.
- Es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros o racionales. Por ejemplo, no es la raíz cuadrada (o de cualquier orden) de ningún número entero, ni de combinaciones de ellas.
- En la Geometría (áreas y volúmenes de figuras relacionadas con la circunferencia) y la Trigonometría, como no podía ser de otra forma, dado su origen y definición.
- En Probabilidades. Por ejemplo, La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
- En Física, debido a la utilización de la esfera y las coordenadas esféricas aparece en diversas formulaciones de leyes fundamentales del Universo.
- En la teoría de ondas, tanto mecánicas como electromagnéticas.Por ejemplo, el periodo de oscilación del péndulo de longitud L en un punto de gravedad g es
5. Relación con el número e
El número e es irracional trascendente, como el número pi, y aparece en muchas ocasiones en la misma expresión.
Se atribuye a Leonhard Euler, citado más arriba, la siguiente relación entre cinco números fundamentales en Matemáticas:
- π es el número pi, del que trata este artículo
- e es el número e, base de los logaritmos naturales o neperianos
- i es la unidad imaginaria, que puede definirse como i = √(-1)
- 1 es el primer número natural, elemento neutro para la multiplicación
- 0 es el cero, elemento neutro para la suma
6. Queda pendiente...
Aún no se ha completado el estudio de todos los aspectos matemáticos relacionados con el nçumero pi. Por ejemplo, actualmente no se sabe si las expresiones π+e, π/e , ln(π) son números irracionales.
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