jueves, 19 de julio de 2012

El número nueve

Aparte de sus propiedades evidentes, como que es el número entre el 8 y el 10 (he tenido que consultarlo en la wikipedia para no equivocarme),  en este post vamos a intentar sonreír y sorprendernos con este número y su comportamiento.

Prueba del nueve
Cuando en mi niñez el maestro nos ponía ejercicios de multiplicación (dos números de varias cifras), tenía tres formas para saber si el resultado era correcto:
  • utilizar ejercicios cuyo resultado conocía
  • repetir él mismo la operación
  • utilizar la prueba del nueve
Como el maestro era listo, utilizaba el último método. Una explicación clara de esta prueba del nueve podemos verla en el siguiente post del blog Tito Eliatron Dixit

La generalización del uso de la calculadora ha hecho que incluso la existencia de esta prueba haya caído en el olvido.

Lo fácil
Vamos a repasar algunas "curiosidades estéticas" del número nueve. Empecemos por la sencilla operación 1/9. Utilizando cualquier calculadora o recordando el método manual vemos que:
1/9

Lo que en terminología matemática se llama un número decimal periódico puro, es decir, un entero seguido por un número ilimitado de grupos de una o más cifras que se repiten indefinidamente. Para representar estos números se utiliza la notación
Más difícil
 Por ahora, nada fuera de lo común. Pero si lo complicamos un poco, y usando una calculadora con mayor número de cifras o una hoja de cálculo, obtenemos que
1/81
En esta ocasión, los puntos suspensivos no indican, como en el primer caso, repetición de las cifras anteriores, sino que las cifras decimales continúan apareciendo sin límite. Realmente la representación matemática sería:
1/81

La teoría de los números nos enseña que un número racional tiene un número finito de cifras decimales sin repetición. Así 1/9 = 0,1111... tiene una cifra decimal sin repetición, que es la longitud de su parte periódica; 1/4 = 0,25 tiene dos cifras decimales sin repetición, que son las cifras antes de llegar a los infinitos ceros que las siguen.

El resultado es curioso: las cifras en orden del 0 al 9, ¡excepto el 8!, repetidas infinitamente.
 
La explicación se ve al multiplicar 1/9 por sí mismo de la forma tradicional. Las primeras cifras se forman al sumar 1, 2, 3, 4... veces el número 1. Así obtendríamos 0,0123456789, pero el resultado de la suma en la siguiente posición sería 10, lo que añade uno a la cifra anterior, resultando 0,0123456790, pues 89 + 01 = 90.
Las siguientes cifras se justifican de forma similar, sumando 11, 12, 13,... veces el número 1.

El enlace del apartado anterior nos enseña a calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico puro, como
(El número sin comas - Parte entera) / (Tantos 9 como cifras tenga el periodo)
En nuestro caso,

 Lo que nos sugiere que


Que no deja de ser otro resultado curioso.

Más difícil todavía
Si hasta ahora hemos jugado con 1/9 y con 1/(9*9) con cierto éxito, no sería extraño intentarlo con otras expresiones del mismo estilo pero más elaboradas, como 1/(99*99), 1/(999*999), o similares. ¿Qué encontraremos?

A partir de aquí tengo que pedir al lector que me libere del deber de demostrar o incluso mostrar detalladamente los resultados obtenidos. La necesidad de tratar con números con decenas, cientos o miles de cifras decimales me ha llevado a escribir y utilizar un pequeño programa escrito en Python.

Por ejemplo, el resultado de 1/(99*99) es
1/9801
Es un número decimal periódico puro cuyo periodo es la sucesión del 00 al 99 (¡excepto el 98!). La forma de representar este número con un periodo de 198 cifras excede de las posibilidades de la notación clásica. Dejamos al lector la tarea de encontrar la fracción generatriz por el método clásico.

Para no dejar de tratar el último ejemplo propuesto, vemos el valor de 1/998001 = 1/(999*999):
1/998001
Perdón, quiero decir que no vemos, pero creedme: Es un número decimal periódico puro cuyo periodo tiene 2.997 cifras formadas por la sucesión del 000 al 999 (¡excepto el 998!)

Es fácil de imaginar e imposible de ver, que el valor decimal de 1/99980001 = 1/(9999*9999) tiene un periodo de 4*(10.000-1) = 39.996 cifras formadas por la sucesión del 0000 al 9999 (¡excepto el 9998!).

¡Ya no puedo más!

Un último número generado a partir del 9 y del 7
Finalmente mencionaré mi número preferido por su comportamiento, que se obtiene a partir de estas dos cifras (más el seis escondido):
Origen de 142857
También puede observarse que
Origen de 142857
 Pero este número merece un post sólo para él.




martes, 17 de julio de 2012

El número cuatro

No parece ser un número especial, de los que nombraríamos primero si alguien nos pregunta por números especiales, raros, esotéricos,... Pero tiene sus gracias:

Su grafía

La escritura del número cuatro en su forma indo-arábiga han variado a lo largo del tiempo, tanto en el mundo árabe como en el occidental, como se ve en la siguiente secuencia, desde la más antigua a la más moderna:
Evolución del número cuatro
Por ejemplo, en el primer documento occidental en el que se reproducen los nueve signos decimales (luego vendría el cero), que es el Codex Vigilanus o Cronica Albeldense (primera versión del año 881), que se conserva en la biblioteca del Monasterio de El Escorial, aparece, en orden inverso, como:
Números indo-arábigos en el Codex Vigilanus o Cronica Albendense


El cuatro para los chinos

Como explica de primera mano el post en Un español en Japón, los chinos, y por extensión los japoneses y coreanos, consideran el cuatro como un número de mala suerte por su parecido fonético con muerte (en ambos casos, si, con diferente tono). También en su grafía hay un salto entre la sencillez de los tres primeros números y el cuarto, como se ve en la siguiente tabla:
Números uno, dos, tres y cuatro en caracteres chinos
Por el contrario, los chinos consideran que el ocho es el número de la buena suerte, por su parecido fonético con la palabra prosperidad. Esto hace que se estén pagando grandes sumas de dinero por números de teléfono móvil o matrículas de coche que contengan uno o varios números ocho.

El cuatro en los relojes con numeración romana

Numeraciones de las esferas de reloj
Se han dado diferentes explicaciones al hecho de que en las esferas de los relojes con numeración romana (ya sean de torre, de pared, de sobremesa o de pulsera), el número cuatro se indica casi siempre como IIII en vez de como IV, que sería la forma estándar.

Las explicaciones habituales son las recopiladas en el artículo de Wikipedia sobre la numeración romana. Algunas de ellas son bastante peregrinas, otras discutibles y pocas defendibles. Cada uno puede tener su opinión subjetiva, ya que no hay documentación histórica escrita que las justifique. Puestos a opinar...

Reloj de la catedral de Wells
No es defendible decir que Luis XIV (rey de Francia y de Navarra, 1638-1715 ) prefería el IIII al IV (como ciertamente puede verse en las monedas de su reinado, donde aparece como Louis XIIII) y que por eso ordenó que se utilizara la primera forma en los relojes. La realidad es que mucho antes de la época del reinado de Luis XIV se construían relojes que utilizaban el IIII en la esfera.

Como ejemplo podemos ver la esfera interior del reloj de la catedral de Wells (Inglaterra), posiblemente de finales del siglo XIV. Posteriormente se añadió a este reloj otra esfera en el exterior del edificio, manejada por el mismo mecanismo.

Por dar una opinión (subjetiva, como todas las opiniones), podría admitir:
  • la que evita el uso de IV por ser el comienzo de IVPITER, pues ha habido y hay mucha superstición, o
  • la que indica que así se usan cuatro veces el signo I (entre el I y el IIII), cuatro veces el signo V (entre el V y el VIII) y cuatro veces el signo X (entre el IX y el XII). Esta es mi justificación preferida, dada la relación de la construcción de los relojes con la Astronomía y con las Matemáticas, y la afición a esconder símbolos en las obras de arte, incluyendo la pintura, la escultura y la arquitectura.